数列{an}为等比数列,且a1*a9=64 a3+a7=20,求an

若{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，ak,al,am,an是等比数列的项，且k+l=m+n，则ak×ai=am×an

证明：
ak=a1×q^(k-1)
al=a1×q^(l-1)
am=a1×q^(m-1)
an=a1×q^(n-1)
ak×al=a1²×q^(k+l-2)
am×an=a1²×q^(m+n-2)
因为k+l=m+n，所以ak×al=am×an

数列{an}为等比数列,且a1×a9=64 a3+a7=20,求an

解：
a3×a7=a1×a9=64
又a3+a7=20，a7=20-a3
a3×(20-a3)=64
a3²-20a3+64=0
(a3-4)(a3-16)=0
a3=4或a3=16
（1）a3=4时，a7=16
q^4=a7/a3=4，q=±√2，a1=a3/q²=2
（2）a3=16时，a7=4
q^4=a7/a3=1/4，q=±√2/2，a1=a3/q²=32
所以数列{an}并不唯一，有四种情况
①a1=2，q=√2，an=2×(√2)^(n-1)
②a1=2，q=-√2，an=2×(-√2)^(n-1)
③a1=32，q=√2/2，an=32×(√2/2)^(n-1)
④a1=32，q=-√2/2，an=32×(-√2/2)^(n-1)